State and Prove pythagoras theorem class 10 (पाइथागोरस प्रमेय) |Pythagoras Theorem Made Easy: Step-by-Step Guide for Class 10 Students| pythagoras theorem class 10 | Mukeshhbk

 Pythagoras Theorem (पाइथागोरस प्रमेय) 

वैसे तो pythagoras theorem एक आसन सी  प्रमेय है लेकिन जब हम 10th में पढ़ रहे होते है तो हमें यह बताया जाता है कि ये प्रमेय एक बहुत ही मुश्किल है लेकिन आपको घबराना नहीं है आज हम इसी प्रमेय  को बहुत ही आसान तरीके से करने वाले है वैसे आप जानते होंगे लेकिन फिर भी बता देता हु मेरा नाम है Mukesh jangra और हमारे अपने इस ब्लॉग mukeshhbk में आपका स्वागत करता हूँ | 

इस प्रमेय का नाम पाइथागोरस नामक यूनानी गणितज्ञ के नाम पर रखा गया है।

Introduction ( परिचय) of pythagorus theorem :-

पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है"। इस त्रिभुज की भुजाओं को लम्ब, आधार और कर्ण नाम दिया गया है। यहां, कर्ण सबसे लंबी भुजा है, क्योंकि यह कोण 90° के विपरीत है। एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ (मान लीजिए A, B और C) जिनमें धनात्मक पूर्णांक मान होते हैं, उन्हें वर्गित करने पर एक समीकरण में डाल दिया जाता है, जिसे पायथागॉरियन त्रिक भी कहा जाता है।

Pythagoras theorem states that “In a right-angled triangle,  the square of the hypotenuse side is equal to the sum of squares of the other two sides“. The sides of this triangle have been named Perpendicular, Base and Hypotenuse. Here, the hypotenuse is the longest side, as it is opposite to the angle 90°. The sides of a right triangle (say A, B and C) which have positive integer values, when squared, are put into an equation, also called a Pythagorean triple.

दिए गए त्रिभुज पर विचार करें:            

 Angle B = 90⁰

जहां "BC" लंबवत (Perpendicular)है,

"AB" आधार (Base) है,

"AC" कर्ण (Hypotenuse)है.

 

परिभाषा के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

Hypotenuse² = Perpendicular² + Base²

AC² = BC² + AB² 

समकोण (90°) के विपरीत भुजा सबसे लंबी भुजा होती है (कर्ण के रूप में जानी जाती है) क्योंकि सबसे बड़े कोण के विपरीत भुजा सबसे लंबी होती है।

पाइथागोरस प्रमेय प्रमाण (Prove pythagoras theorem)

दिया गया है: एक समकोण त्रिभुज ABC, B पर समकोण है।

सिद्ध करने के लिए- AC² = BC² + AB²

निर्माण (construction) :- 

AC को D पर मिलाते हुए एक लंब (Perpendicular) BD खींचिए।

Angle D in Triangle ABD = 90⁰

Angle D in Triangle BCD = 90⁰

^{बिंदु D भुजा AC को दो बराबर भागों में बांटती है |}

तो हम कह सकते है कि AD और DC बराबर है |

AD=DC

Proof:

$\angle B\; =90\; \&$∠D =90    

AD=DC

अभी △ABC और △ABD में 

∠A =∠A ( Common Angle)

∠B =∠D ( Both are 90⁰)

तो हम कह सकते है कि

△ABC ∼ △ABD

$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$

तो AB²= AD X AC ......................(I)

अभी △ABC और △DBC में 

∠C =∠C ( Common Angle)

∠B =∠D ( Both are 90⁰)

तो हम कह सकते है कि

△ABC ∼ △DBC

$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$

तो BC²= CD X AC ......................(II)

 

यदि हम समीकरण (I) और (II) को जोड़ दें तो 

AB²+BC²= AD X AC + CD X AC

AB²+BC²= AC(AD + CD ) .................................(III.)

हमें पता है यदि हम AD और CD को जोड़ दे तो हमें AC. मिलेगा  तो समीकरण (iii) हमारी कुछ ऐसा होगा 

AB²+BC²= AC(AC )

AB²+BC²=  AC²    ...............................(Hence proved)

अत: पाइथागोरस प्रमेय सिद्ध होता है।

 

नोट: पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज पर लागू होता है।

For example :-

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 13cm तथा आधार 12cm तो इसका लम्ब ज्ञात कीजिये ?

(If the hypotenuse of a right angled triangle is 13cm and the base is 12cm, then find its altitude?)

hypotenuse = 13cm

base = 12cm

According to pythagoras theorem:-

H² = B² + P²

(13)² = (12)² + P²

P² = 169-144

P² = 25

P = (25)^1/2

P = 5

Hence altitude of triangle is 5cm.

Question for yourself:-

1. If the hypotenuse of a right angled triangle is 5 cm and the perpendicular is 4cm, then find its base?

2. If the base of a right angled triangle is 3cm and the perpendicular is 4cm, then find its hypotenuse ?

3. If the hypotenuse of a right angled triangle is 10cm and the base is 6cm, then find its altitude?

4. If the altitude of a right angled triangle is 2cm and the base is 3cm, then find its hypotenuse ?

5. If the hypotenuse of a right angled triangle is 9cm and the base is 4cm, then find its altitude?

हम उम्मीद करते है आपको यह अच्छा लगा होगा अगर आपके इसके अलावा कोई भी प्रशन है तो आप हमशे वार्तालाप इन माध्यम से कर सकते है

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